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Quadriken-Splines

Quadriken-Splines
Typ:Diplomarbeit
Datum:1997
Autor(en):Andreas Diekmann
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Bei der Modellierung von Flächen kommen je nach Anwendung verschiedene Flächenklassen wie funktionale, parametrische und implizite Flächen zum Einsatz. So bieten sich beispielsweise zur Erzeugung photorealistischer Bilder mit Hilfe eines Raytracers insbesondere Flächen in impliziter Darstellung an, da in diesem Fall die Schnittpunktberechnung mit einer Geraden (sprich der Durchstoßpunkt des Sehstrahls mit der Fläche) und die Normalenbestimmung sehr einfach durchgeführt werden können. Um hierbei die Komplexität der Darstellung möglichst gering zu halten und dennoch ausreichend Flexibilität zum Modellieren zur Verfügung zu haben, werden Flächen verwendet, die aus algebraischen Flächen niedrigen Grades glatt zusammengesetzt sind.

Der vorliegenden Arbeit liegen sogenannte Quadrikensplines zugrunde, d.h. Flächen, die aus tangentialebenenstetig anschließenden Quadrikenstücken aufgebaut sind. Jedes Quadrikenpatch wird hierbei durch ein Polynom zweiten Grades beschrieben. Mittels dieser Quadrikensplines kann ein vorgegebenes Dreiecksnetz von Punkten mit zugehörigen Tangentialebenen interpoliert werden. Ein Verfahren von Wolfgang Dahmen löst dieses Problem, indem jedes Dreieck durch sechs zu einem Makropatch zusammengesetzte Quadrikenpatche interpoliert wird. Je zwei Makropatche werden anschließend durch einen Keil aus vier weiteren Quadrikenstücken verbunden. Dieses Verfahren erfordert die Konstruktion eines globalen Transversalensystems von Geraden, das die Trennebenen zwischen den einzelnen Quadrikenstücken festlegt. Die nach Dahmen erzeugten Flächen können unerwünschte Windungen und Löcher aufweisen, was durch ein erweitertes Verfahren von Guo vermieden wird.

Aufgabe dieser Diplomarbeit war die praktische Umsetzung der Verfahren von Dahmen und Guo sowie die Untersuchung einer weiteren Verallgemeinerung der Verfahren, die für jeden gegebenen Punkt einen zusätzlichen Freiheitsgrad in Form eines - bei Dahmen und Guo konstant gewählten - Gewichtes liefert. Diese Verallgemeinerung umfaßt insbesondere den Spezialfall des Powell-Sabin-Interpolanten, eines nur aus Paraboloiden bestehenden Quadrikensplines.

Einen wichtigen Aspekt bildete hierbei die Bestimmung der Transversalensysteme, deren Einfluß auf die geometrische Gestalt des Interpolanten ebenfalls zu berücksichtigen war. Letztendlich waren auch noch Verfahren zu untersuchen, mit denen globale Transversalen umgangen werden können.