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Effiziente Flüssigkeitssimulation nach dem Ansatz von Euler

Effiziente Flüssigkeitssimulation nach dem Ansatz von Euler
Typ:Diplomarbeit
Datum:2009
Autor(en):Daniel Merkel
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Übersicht

Flüssigkeit spielt in unserem Leben eine überragende Rolle. Auf den ersten Blick mag es da umso überraschender erscheinen, dass die Simulation von Flüssigkeiten auf dem Rechner in der Form, wie sie in dieser Arbeit beschrieben wird, erst um das Jahr 1965 eingeleitet wurde. Das hängt vor allem damit zusammen, dass die Leistungsfähigkeit der Computer vor 1965 nicht ausreichend war, um Flüssigkeiten zu simulieren. In diesem Jahr wurde erstmals zur Beschreibung der Flüssigkeit am Rechner eine Approximation der  dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen verwendet. Dazu wurde die Änderung physikalischer Größen an festen Punkten diskreter Gitter betrachtet. Dieses Vorgehen beschreibt die Eulersche Sichtweise. Aufbauend auf dieser Arbeit entwickelte sich die CFD{Computational Fluid Dynamics}-Gemeinde, die das Verhalten von Fluiden wie Wasser, Luft, Öle und Gase mit immer genaueren und komplexeren Verfahren am Computer simulierten. Die Anwendungsgebiete der CFD-Gemeinde liegen vor allem in den Bereichen Raumfahrt, Luftfahrt und Automobilindustrie. Bei den Simulationen im CFD-Bereich kommt es dabei weniger auf die Zeit, sondern mehr auf die numerische Genauigkeit der Berechnungen an.

Die in dieser Arbeit verwendeten Methoden sind im Vergleich zu den CFD-Ansätzen weniger exakt, dafür umso effizienter zu berechnen. Insgesamt werden in der Arbeit numerische Approximationen eingesetzt, die einen Kompromiss zwischen physikalischer Exaktheit und effizienter Berechnung bilden. Ziel ist es eine Flüssigkeitssimulation im echtzeitnahen Bereich durchzuführen. Der Anwendungsbereich dieser Arbeit liegt im Bereich Werbung und Film.

Die Navier-Stokes-Gleichungen

Kern der Flüssigkeitssimulation bilden die dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen. Diese partiellen Differentialgleichungen werden dazu verwendet die Bewegung der Flüssigkeit zu beschreiben. Diese Gleichungen bestehen aus der Momentengleichung und der Inkompressibilitätbedingung. Die Momentengleichung ist nichts anderes als das zweite newtonsche Axiom und beschreibt wie die Flüssigkeit durch die Kräfte, die auf sie wirken beschleunigt wird. Die auftretenden Kräfte sind die Gravitationskraft, die Druckkraft und die dynamische Viskosität. Diese ist im Vergleich zu den beiden anderen Kräften vernachlässigbar weswegen sie in der Simulation nicht berücksichtigt wird. Die degenerierten Navier-Stokes-Gleichungen werden als Euler-Gleichungen bezeichnet. Zur Beschreibung von inkompressiblen Flüssigkeiten wird durch die Imkompressibilitätsbeding sichergestellt, dass sich das Volumen der Flüssigkeit über die Zeit nicht ändert.

Ergebnisse

Um eine geschlossene Flüssigkeitsoberfläche beschreiben zu können, wurden Level-Set-Methoden verwendet. Diese ermöglichten mithilfe des Marching-Cubes-Algorithmus die Flüssigkeit als Dreiecksnetz zu repräsentieren. Um komplexe Hindernisse zu simulieren wurde der Simulator derart erweitert, so dass dieser nicht nur zwischen vollen und leeren Simulationszellen unterscheiden, sondern auch teilweise mit Flüssigkeit gefüllten Zellen erkennen konnte. Zur Steigerung der Effizienz wurden effiziente Datenstrukturen bei der Implementierung verwendet. Soweit möglich wurden Berechnungen parallel ausgeführt.

   
   
Flüssigkeitssimulation mit komplexer Hinderniskonfiguration und Level-Set-Methoden zur
Visualisierung der Flüssigkeitsoberfläche.